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Solución al desafío: Cuando la muñeca falla

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Desafío:  Cuando la muñeca falla

En el baloncesto se llevan estadísticas de muchos aspectos del juego, entre ellos los ‘números’ o ‘promedios’ de un jugador. Son tan importantes que todos los jugadores intentan mejorar sus ‘números’.

A pesar de todas las estadísticas involucradas, a veces se dicen cosas que no tienen mucha lógica. Por ejemplo, un jugador cuya media de lanzamientos de tiros libres es el 70% llega a un partido decisivo, lanza 5 y solo encesta 2 (es decir ese día solo llega al 40%). Lo normal es que el comentario sea: ‘¡le han podido los nervios por la trascendencia del partido!’. Pero en realidad puede no ser eso, porque, ¿cuál es la probabilidad de que al lanzar 5 tiros falle al menos 3?

Y si en vez de 5 lanzamientos hace 10, la probabilidad de que meta 4 como máximo, ¿es la misma que en el caso anterior? Parece ‘lógico’ pensar que sí, ya que 2/5 = 4/10, (40%). ¿Es así?

 Fernando Corbalán

 

Solución

En estas situaciones lo fundamental es contar correctamente el número de formas en las que se pueden obtener N aciertos al realizar K lanzamientos. Si bien podemos contar directamente todas las formas posibles de que ocurra eso, una gran ayuda para resolver este conteo la proporcionan los números combinatorios; y, para calcular la probabilidad, la denominada distribución Binomial, que no es más que una forma compacta de escribir todos los casos y su probabilidad.

En el primer caso se trata de una distribución Binomial B(5, 0.7), puesto que hace cinco pruebas (tiros) y la probabilidad de acierto es 0.7 = 70%. Así, si X es el número de aciertos, la probabilidad de tener dos aciertos o menos (3 fallos o más) es:

     Probabilidad de que (X < 2) = Probabilidad de  (X = 0) + Probabilidad de (X = 1) + Probabilidad de  (X = 2) =         =  1 (0.3)^5 + 5 (0.3)^4 (0.7) + 10 (0.3)^3 (0.7)^2

donde 1, 5 y 10 son las formas de acertar 0, 1 y 2 lanzamientos, respectivamente, al realizar cinco tiros libres.

(El signo  ^ indica potencia, es decir:  (0.3)^4 = (0.3) (0.3) (0.3) (0.3), por ejemplo)

Es decir: 0.163 (16.3%), aunque su media de aciertos sea del 70%.   Y la de acertar exactamente 2 es  0.1323 (13.23%).

Y la probabilidad de encestar exactamente 2 tiros libres es :  10 (0.3)^3 (0.7)^2 = 0.1323  (13.23%).

De manera análoga, cuando lanza 10 tiros libres, la probabilidad de que enceste 4 como máximo es 0.047 (4.7%).

 Como se ve con cierta frecuencia se buscan explicaciones “raras” cuando un pequeño análisis estadístico puede mostrar que  lo que sucede es esperable.

Tras realizar el sorteo entre todos los acertantes, los ganadores de los libros son Itzcóatl Bueno García, Jorge Velilla Gambó y José Javier Alcalde , que recibirán los libros de divulgación matemáticas por cortesía del departamento de Métodos Estadísticos de la Universidad de Zaragoza y de las editoriales RBA y Graó.

Enhorabuena a todos y a por el quinto desafío que ya está listo.

 

En el fichero adjunto aparece la solcuión publicada en las páginas de Heraldo de Aragón.