Soluciones al desafío: ¿Merece la pena apostar?

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Desafío:  ¿Merece la pena apostar?

A lo largo de la historia bastantes jugadores han explotado sus conocimientos probabilísticos o estadísticos para ganar dinero.

En este desafío se proponen juegos que pueden llevarse a la práctica y así comprobar los resultados  que se obtienen. Atentos.

Un jugador que desconoce tus habilidades matemáticas te propone participar en el siguiente juego. Se dispone de tres monedas, una con dos caras, otra con dos cruces y la tercera con una cara y una cruz. El jugador te dice que elijas una moneda al azar, sin mirar de cuál se trata, y la lanza. Sale cara pero no sabes cuál de las tres monedas es.

Si tuvieras que apostar parte de tus ahorros a adivinar de qué moneda se trata, ¿a qué moneda apostarías?.

Supongamos ahora que el jugador, te pide que elijas dos monedas, las lanza y sale cara y cruz. ¿Merece la pena apostar a favor de que la otra moneda tiene sus dos caras iguales?

Solución al desafío publicada en Tercer Milenio

En este desafío podemos utilizar la conocida regla de Laplace que consiste en hacer el cociente de los casos favorables al suceso de interés entre los casos posibles del experimento:

P(suceso de interés)=casos favorables/casos posibles.

Para ello debemos definir bien cuáles son los casos posibles. La mejor manera es numerando las caras y las cruces:

Moneda con dos caras=(C1,C2) ; moneda con dos cruces=(X1,X2), y moneda con cara y cruz=(C3,X3).

Primera parte del desafío: Al lanzar una sola moneda y salir cara, los casos posibles son tres (C1, C2 y C3). Si el suceso de interés es “elegir la moneda con dos caras”, entonces es inmediato que los casos favorables son dos (C1 y C2). Así, 2/3 es la probabilidad de elegir la moneda con dos caras y por tanto es la moneda a la que se debería apostar.

Segunda parte del desafío: Las posibilidades ahora cambian, puesto que se lanzan dos monedas obteniendo cara y cruz, por tanto hay 8 posibilidades.

Casos posibles: C1X1, C1X2, C1X3, C2X1, C2X2, C2X3, C3X1, C3X2.

Los casos favorables a que la moneda descartada tenga dos caras son: C3X1, C3X2. Por tanto, la probabilidad de que la moneda descartada tenga dos caras es ¼.

En esta parte del desafío los participantes han detectado que la cuestión podía interpretarse de dos formas: una que la moneda descartada fuera de dos caras, otra entendiendo que la moneda tenga sus dos lados iguales (dos caras o dos cruces). Ambas interpretaciones se han considerado válidas. Si se interpreta que la moneda descartada tenga sus dos lados iguales (caras o cruces) entonces la probabilidad de que esto ocurra es 1/2, resultado que se sigue de la probabilidad anterior ya que el papel de las monedas con dos caras o dos cruces es simétrico.

Así, no apostaríamos a la moneda con dos caras y sería indiferente apostar a que la moneda tiene sus dos lados iguales.

Nuestros concursantes, como siempre, han sido originales y han proporcionado diversas formas de resolver el problema, además de la que se ha publicado en Tercer Milenio.

Tras realizar el sorteo entre todos ellos los ganadores de los libros son Juan M. Rodriguez Díaz, Andrés Ruiz Pomar y Francisco Pobes Lacruz, que recibirán los libros de divulgación matemáticas por cortesía del departamento de Métodos Estadísticos de la Universidad de Zaragoza y de las editoriales RBA y Graó.

Enhorabuena a todos y a por el cuarto desafío que ya está listo.

En el fichero adjunto (Desafío3-Solución 2) se puede encontrar la solucion escrita desde un punto de vista más técnico. En relación con la segunda parte del desafío se desarrolla la primera de las interpretaciones, la que hace alusión a que la moneda descartada sea la de dos caras. En el caso en que se haya considerado la segunda de las interpretaciones  (la moneda descartada tiene sus dos lados iguales- caras o cruces) la solución se obtiene, a partir de la solución mostrada, de manera inmediata, como se ha explicado más arriba, es decir sumando ambas probabilidades, con lo que la probabilidad de que la probabilidad descartada tenga sus dos lados iguales  es 1/2 (1/4 + 1/4), ya que el papel de las monedas con dos caras o dos cruces es simétrico. En ese caso, sería indiferente apostar a que la moneda tiene sus dos lados iguales.

Archivos adjuntos: 

Desafíos-3 Solución publicada.pdf

Desafio3-Solución 2.pdf