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Solución al desafío: Ganando juegos y perdiendo amigos.

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Consideremos en primer lugar los posibles resultados de cada dado.

 

El  dado A puede mostrar el valor 1 con probabilidad 1/3 y el valor 5 con probabilidad 2/3.

 

El dado  B puede mostrar el valor 3 con probabilidad ½ y el valor 4 también con probabilidad ½.

 

El dado C puede mostrar el valor 2 con probabilidad 2/3 y el valor 6 con probabilidad 1/3.

 

 

Primera cuestión:

 

La probabilidad de que el dado A supere al dado B es 2/3.

 

La probabilidad de que el dado A supere al dado C es 4/9.

 

La probabilidad de que el dado B supere al dado C es 2/3

 

 

En consecuencia si mi amigo elige el dado A yo debo elegir el dado C, si él elige el B yo elegiré el A y si elige el dado C yo elijo el B, de manera que no hay un dado que sea mejor que cualquier otro y siempre puedo elegir uno que supere al elegido por mi amigo.

 

Como ha señalado algún lector, este tipo de dados reciben el nombre de Dados no transitivos.

 

 

Segunda cuestión:

 

Al lanzar el dado A dos veces, la suma de sus puntos puede ser 2, 6 y 10. Las probabilidades de obtener cada uno de esos tres valores son 1/9, 4/9 y 4/9, respectivamente.  Para calcular esas probabilidades debe tenerse en cuenta que los lanzamientos consecutivos de un dado son "independientes", es decir que el resultado del primer alnzamiento no tiene ninguna oinfluencia sobre el resutlado del segundo lanzamiento. Así las probabilidades se pueden obtener multiplicando las probabilidades de cada lanzamiento o desarrollando los posibles pares de lanzamientos.

 

Al lanzar el dado C dos veces, la suma de sus puntos puede ser 4, 8 y 12. Las probabilidades de obtener cada uno de esos tres valores son 4/9, 4/9 y 1/9, respectivamente.

 

En consecuencia, el dado A gana al C cuando con el primero se obtienen 6 puntos y con el segundo 4; o con el primero se obtienen 10 y con el segundo 4 u 8. Las probabilidades de cada uno de esos tres casos son (4/9)x(4/9) = 16/9, igual para los tres casos.

 

En consecuencia la probabilidad de que el dado A supere al C es 48/81 que es superior a la de que gane el C que será 33/81, luego es un juego que conviene al jugador que lanza el dado A.

 

Es interesante notar que, aunque en una sola jugada el dado C es superior al A (véase la primera cuestión), no ocurre lo mismo cuando se lanzan dos veces y se suman las puntaciones.

 

F. Javier López y Gerardo Sanz

 

 

LOS GANADORES

Tras realizar el sorteo entre los participantes en nuestro quinto desafío estadístico del año, los ganadores son: Javier Domínguez Melián, José Javier Alcalde Martínez y José Manuel Peña Pardos, que recibirán lotes de libros de divulgación por cortesía de las editoriales RBA y Graó y del Departamento de Métodos Estadísticos de la Universidad de Zaragoza. Enhorabuena.