Solución al desafío Reparto del trabajo

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Podemos pensar que el hotel es una urna que contiene inicialmente una bola blanca (Juan) y otra negra (Ana). La llegada de un cliente equivale a extraer una bola al azar: si sale bola blanca devolvemos la bola y añadimos otra bola blanca (cliente bajo la responsabilidad de Juan); si sale negra devolvemos la bola y añadimos otra bola negra (cliente bajo la responsabilidad de Ana). Repetimos el procedimiento N veces. La probabilidad de que las primeras K bolas sean negras es (1/2)(2/3)…(K/(K+1)). La probabilidad de que las siguientes N-K sean blancas es (1/(K+2))(2/(K+3))…((N-K)/N+1)). Multiplicando y utilizando notación factorial, K!(N-K)!/(N+1)!. Nótese que CUALQUIER reordenación de extracciones de K bolas blancas y N-K negras tiene la misma probabilidad de ser obtenida y el número de reordenaciones posible es N!/(K!(N-K)!).

La probabilidad de que exactamente K clientes estén bajo la responsabilidad de Ana es:  ( N!/(K!(N-K)!))(K!(N-K)!/(N+1)!) = 1/(N+1 )

Esta probabilidad es la misma para cualquier K. En particular, la probabilidad de que Ana no tenga que ocuparse de ningún cliente es 1/(N+1) .

( Notación factorial  K! = 1x2x3 x …  x K ) 

Jose A. Moler y Fernando Plo

LOS GANADORES

Tras realizar el sorteo entre los acertantes de nuestro último desafío, los ganadores son: Christian Chaya, José Manuel Peña Pardos e Ignacio Clavería, que recibirán lotes de libros de divulgación por cortesía de las editoriales RBA y Graó y del Departamento de Métodos Estadísticos de la Universidad de Zaragoza. Enhorabuena.

Archivos adjuntos: 

Solución Desafío Publicado Febrero 2014.pdf