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Un concurso para pensar

En nuestra sociedad, rendimos culto a la certidumbre, a la relación directa entre causas y efectos. Si hacemos una cosa determinada, la consecuencia segura será otra ya prevista. Pero las cosas no siempre son así; a decir verdad, en ámbitos muy importantes de la vida, casi nunca lo son. Estamos rodeados más por la incertidumbre que por la certeza. Y la probabilidad y la estadística son el método que la humanidad ha encontrado para entender y dominar esa incertidumbre o azar. Aprovechando que en 2013 se celebra el Año Internacional de la Estadística, desde Tercer Milenio propondremos cada mes un desafío relacionado con la incertidumbre. Aunque no existe mejor recompensa que la satisfacción intelectual de vencer un obstáculo, hay premio para los ganadores. Aquí va el primer desafío.

  • Podemos pensar que el hotel es una urna que contiene inicialmente una bola blanca (Juan) y otra negra (Ana). La llegada de un cliente equivale a extraer una bola al azar: si sale bola blanca devolvemos la bola y añadimos otra bola blanca (cliente bajo la responsabilidad de Juan); si sale negra devolvemos la bola y añadimos otra bola negra (cliente bajo la responsabilidad de Ana). Repetimos el procedimiento N veces. La probabilidad de que las primeras K bolas sean negras es (1/2)(2/3)…(K/(K+1)). La probabilidad de que las siguientes N-K sean blancas es (1/(K+2))(2/(K+3))…((N-K)/N+1)). Multiplicando y utilizando notación factorial, K!(N-K)!/(N+1)!. Nótese que CUALQUIER reordenación de extracciones de K bolas blancas y N-K negras tiene la misma probabilidad de ser obtenida y el número de reordenaciones posible es N!/(K!(N-K)!).

     

    La probabilidad de que exactamente K clientes estén bajo la responsabilidad de Ana es:  ( N!/(K!(N-K)!))(K!(N-K)!/(N+1)!) = 1/(N+1 )

    Esta probabilidad es la misma para cualquier K. En particular, la probabilidad de que Ana no tenga que ocuparse de ningún cliente es 1/(N+1) .

     

    ( Notación factorial  K! = 1x2x3 x …  x K ) 

     

    Jose A. Moler y Fernando Plo

     

    LOS GANADORES

    Tras realizar el sorteo entre los acertantes de nuestro último desafío, los ganadores son: Christian Chaya, José Manuel Peña Pardos e Ignacio Clavería, que...

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  • Una residencia con muchas habitaciones tiene dos dueños que se llaman Ana y Juan. Inicialmente en la residencia solo están ellos dos. Para dividir el trabajo acuerdan lo siguiente.

    Cuando llegue el primer cliente, uno de ellos, con igual probabilidad, irá a abrir la puerta. El cliente pasará a ser responsabilidad del que le haya abierto la puerta. En lo sucesivo, cuando llegue un cliente, cualqueira de los  residentes, con igual probabilidad, irá a abrir la puerta. Si el que abre la puerta es Ana o uno de sus clientes, el nuevo cliente pasará también a estar bajo la responsabildiad de Ana. Si el que abre la puerta es Juan o uno de los clientes bajo su responsabilidad, el nuevo cliente pasará también a estar bajo al responsabilidad de Juan. Repetimos el proceso hasta que N clientes han llegado a la residencia.

    Par aentender mejore sta manera de dividirse el trabajo, pedimos que contestéis a las siguientes cuestiones:

    a) De los N clientes que han llegado, ¿cuál es la probabilidad de que K de ellos sean responsabilidad de Ana Y os restantes N-K sean responsabilidad de Juan?.

    b) ¿Cuál es la probabilidad de que al final del procedimiento Ana se haya quedado sin clientes bajo su responsabilidad?.

     

    Tienes tiempo hasta el próximo 31 de enero para pensar y enviar tu respuesta, con el asunto "Desafíos estadísticos",  a   milenio@heraldo.es

    Entre quienes den la respuesta correcta, ...

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  • Para resolver y comprender este desafío, se necesitan conocimientos de Probabilidad del nivel de las actuales materias básicas de Estadística de primer curso de grado. En mi generación esto se estudiaba ya en el Bachillerato (BUP). Yo tuve la suerte de que me lo contaran en primero y segundo de BUP en un modesto instituto rural de Tierra de Campos. Lamentablemente, la mayoría de los actuales estudiantes de Enseñanza Secundaria no tiene esa suerte, a pesar de que estos contenidos forman parte de los programas oficiales.

    En el Sorteo de Navidad hay 100.000 números y los premios gordos, considerando como tales los 5 más grandes (1o, 2o, 3o y dos 4o), no son acumulables ya que las bolas se extraen sin reemplazamiento. Si alguien juega 100 décimos de números distintos (2000 euros), la probabilidad de que en un sorteo le toque alguno de dichos premios es ........

    Alfonso Gordaliza

    Catedrático de Estadística en la

    Esucela de Ingenieros Industriales de la Universidad de Valladolid.

     

    LOS GANADORES

    Tras realizar el sorteo entre los acertantes de nuestro último desafío, los ganadores son: Jesús Nievas, David Mompel y A. Atarés, que recibirán lotes de libros de divulgación por cortesía de las editoriales RBA y Graó y del Departamento de Métodos Estadísticos de la Universidad de Zaragoza...

  • En este desafío Pedro recibía un sobre con tres cromos de su padre. En estos sobres nunca salen dos cromos iguales. También recibía un sobre similar de su madre y al abrirlos ha comprobado que tenía un cromo repetido.  Como Pedro no tiene el album quiere estimar cuántos cromos tiene la colección a partir de la información que le proporcionan los tres sobres que tiene.............................................................

    Este método de marcado-remarcado fue introducido por Petersen (1896) para estimar la cantidad de peces de una especie que hay en una determinada zona. Esta técnica sigue siendo de uso actual en áreas como por ejemplo la biología o la salud pública.

     Más detalles en el documento adjunto.

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  • Corre la leyenda de que, en las horas siguientes al Sorteo de Navidad, los “caza-décimos” merodean por los barrios donde se han vendido premios importantes. Se dice que ofrecen sustanciosas plusvalías por los décimos premiados para blanquear así el dinero obtenido ilícitamente, haciéndolo pasar por premios de lotería. Un político acusado de presunta corrupción atribuye su inmensa fortuna a la buena suerte, acreditando que le ha tocado algún premio importante por lo menos siete veces en los últimos once sorteos de Navidad. ¿Debe creerse el juez la coartada o debe concluir que se trataba de décimos “cazados”? Se pide la probabilidad de dicho evento (5 cifras significativas), sabiendo que en cada sorteo juega a 100 números entre 100.000 y que el sorteo reparte 5 premios importantes, que no son acumulables.

    En el extremo contrario está un ciudadano normal, al que no le ha tocado ni siquiera el reintegro en ninguno de esos once sorteos. ¿Está realmente gafado para el azar? Se pide la probabilidad de dicho evento, sabiendo que juega a 1 número y que los números que obtienen algún premio en cada sorteo representan aproximadamente el 15,3%.

    Alfonso Gordaliza

     

     

    Tienes tiempo hasta el próximo 23 de diciembre para pensar y enviar tu respuesta, con el asunto "Desafíos estadísticos",  a   milenio@heraldo.es

    Entre quienes den la respuesta correcta,  sortearemos tres libros de matemáticas divulgativas...

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  • Pedro recibe un sobre con tres cromos de su padre. En estos sobres nunca salen dos cromos iguales. También recibe un sobre similar de su madre. Al abrirlos, comprueba que tiene un cromo repetido...........

    Resulta que Pedro no tiene el álbum y quiere estimar el número N de cromos que tiene esta colección. Para ello calcula la probabilidad de obtener un cromo repetido en los dos sobres que le regalan, la probabilidad de obtener dos repetidos; la de obtener tres repetidos y la probabilidad de no obtener repetidos.

    De esta forma, el número esperado de repetidos se obtiene multiplicando el número de repetidos por la probabilidad de obtenerlos. Igualando este número esperado a 1, que es el número de cromos repetidos que ha obtenido, ¿cuántos cromos dirías que tiene la colección?   ¿Podría resolver el problema de esta forma si no hubiese obtenido ningún cromo repetido?

     

    Tienes tiempo hasta el próximo 22 de noviembre para pensar y enviar tu respuesta, con el asunto "Desafíos estadísticos",  a   milenio@heraldo.es

    Entre quienes den la respuesta correcta,  sortearemos tres libros de matemáticas divulgativas, por gentileza de las editoriales Graó,  RBA y del Departamento de Métodos Estadísticos de la Universidad de Zaragoza.

    La solución, el martes 26 de noviembre, en Tercer Milenio.

    ¡Anímate y participa!

    JOSÉ ANTONIO CRISTOBAL Y TOMÁS...

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  • Consideremos en primer lugar los posibles resultados de cada dado.

     

    El  dado A puede mostrar el valor 1 con probabilidad 1/3 y el valor 5 con probabilidad 2/3.

     

    El dado  B puede mostrar el valor 3 con probabilidad ½ y el valor 4 también con probabilidad ½.

     

    El dado C puede mostrar el valor 2 con probabilidad 2/3 y el valor 6 con probabilidad 1/3.

     

     

    Primera cuestión:

     

    La probabilidad de que el dado A supere al dado B es 2/3.

     

    La probabilidad de que el dado A supere al dado C es 4/9.

     

    La probabilidad de que el dado B supere al dado C es 2/3

     

     

    En consecuencia si mi amigo elige el dado A yo debo elegir el dado C, si él elige el B yo elegiré el A y si elige el dado C yo elijo el B, de manera que no hay un dado que sea mejor que cualquier otro y siempre puedo elegir uno que supere al elegido por mi amigo.

     

    Como ha señalado algún lector, este tipo de dados reciben el nombre de...

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  • Antes de irnos de vacaciones proponemos un sencillo juego para que, aprovechando que las neuronas de los amigos están de vacaciones, puedas ganar alguna bebida gratis. Jugaremos  con tres dados especiales. 

    El dado A tiene sus seis caras numeradas 1,1, 5, 5, 5, 5. El B tiene en sus caras 3,3,3,4,4,4; y finalmente el C tiene 2,2,2,2, 6,6.

    Ahora ofrece a un amigo que elija un dado. Cuando él ha elegido, tú eliges otro y los lanzáis. Gana quien obtenga mayor puntuación. Dependiendo del dado que elija tu amigo, ¿qué dado elegirías tú?

    Tras jugar varias partidas tu amigo observa que le estás ganando demasiadas veces y decide no seguir jugando. En ese momento le propones una variante.  Le dejas que él lance el dado C y tu lanzarás el A, pero ahora los lanzaréis dos veces y ganará quien sumando los puntos de los dos lanzamientos obtenga mayor puntuación. ¿Crees que aceptará jugar esta variante?.

    F. Javier López y Gerardo Sanz

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  • Desafío:  Cuando la muñeca falla

    En el baloncesto se llevan estadísticas de muchos aspectos del juego, entre ellos los ‘números’ o ‘promedios’ de un jugador. Son tan importantes que todos los jugadores intentan mejorar sus ‘números’.

    A pesar de todas las estadísticas involucradas, a veces se dicen cosas que no tienen mucha lógica. Por ejemplo, un jugador cuya media de lanzamientos de tiros libres es el 70% llega a un partido decisivo, lanza 5 y solo encesta 2 (es decir ese día solo llega al 40%). Lo normal es que el comentario sea: ‘¡le han podido los nervios por la trascendencia del partido!’. Pero en realidad puede no ser eso, porque, ¿cuál es la probabilidad de que al lanzar 5 tiros falle al menos 3?

    Y si en vez de 5 lanzamientos hace 10, la probabilidad de que meta 4 como máximo, ¿es la misma que en el caso anterior? Parece ‘lógico’ pensar que sí, ya que 2/5 = 4/10, (40%). ¿Es así?

     Fernando Corbalán

     

    Solución

    En estas situaciones lo fundamental es contar correctamente el número de formas en las que se pueden obtener N aciertos al realizar K lanzamientos. Si bien podemos contar directamente todas las formas posibles de que ocurra eso, una gran ayuda para resolver este conteo la proporcionan los números combinatorios; y, para calcular la probabilidad, la denominada distribución Binomial, que no es más...

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  • En baloncesto se llevan estadísticas de muchos aspectos del juego, entre ellos los ‘números’ o ‘promedios’ de un jugador. Son tan importantes que todos los jugadores intentan mejorar sus ‘números’.

    A pesar de todas las estadísticas involucradas, a veces se dicen cosas que no tienen mucha lógica. Por ejemplo, un jugador cuya media de lanzamientos de tiros libres es el 70% llega a un partido decisivo, lanza 5 y solo encesta 2 (es decir ese día solo llega al 40%). Lo normal es que el comentario sea: ‘¡le han podido los nervios por la trascendencia del partido!’. Pero en realidad puede no ser eso, porque, ¿cuál es la probabilidad de que al lanzar 5 tiros falle al menos 3?

    Y si en vez de 5 lanzamientos hace 10, la probabilidad de que meta 4 como máximo, ¿es la misma que en el caso anterior?parece lógico pensar que sí, ya que 2/5 = 4/10, (40%). ¿Es así?.

     

    Fernando Corbalán

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